11 august 2013

Fractii

Fractii

FRACŢIILE

Fracţiile sunt numere de forma , unde a şi b sunt întregi ( b diferit de zero).
Numărul de sub linia de fracţie se numeşte numitor. Gândiţi-l ca ‘cel care numeşte’ fracţia: 1/2 = o doime, 3/5= 3 cincimi, 3/10= 3 zecimi etc. El arătă în câte părţi s-a împărţit întregul.
Numărul de pe linia de fracţie se numeşte numărător. El numără câte doimi, cincimi, zecimi etc. s-au luat.
Fracţii mixte
În mod obişnuit, gândim fracţiile ca fiind cupinse între 0 şi 1, ca 3/4 sau 2/5. Acestea sunt fracţii subunitare. În aceste fracţii numitorul este mai mare decât numărătorul. Dacă numitorul şi numărătorul sunt egali, fracţia este echiunitară. În cazul în care numărătorul este mai mare decât numitorul avem o fracţie supraunitară.
Ce semnifică o fracţie supraunitară, de ex. 5/4 ? Dacă avem 5 sferturi, înseamnă ca avem mai mult de un întreg care este 4/4; mai precis avem un întreg şi încă un sfert.

Notaţie

O modalitate de a scrie o fracţie supraunitară.punând în evidenţă întregii, este scrierea ca fracţie mixtă. Astfel fracţia 5/4 o scriem , pe care o citim ca fiind “un întreg şi o pătrime.” Această notaţie poate genera confuzii şi nu este recomandată în algebra.
Confuzia de care vorbeam poate proveni din faptul că în algebra semnul de înmulţire poate lipsi, el subînţelegându-se. Ori în scrierea fracţiilor mixte, între întreg şi partea fracţionară avem adunare si nu înmulţire, adică, însemnă 1 + 1/4.
Anumite operaţii aritmetice cu fracţiile mixte se pot efectua considerându-le ca atare, făcând operaţii între întregi şi între părţi fracţionare, dar este de preferat să le transformăm în fracţii (supraunitare).

Transfomări

Introducerea întregilor în fracţie

A.Înmulţim întregul cu numitorul.
B.Adunăm rezultatul cu numărătorul.
Formula generală

Scoaterea întregilor din fracţie

  1. Împărţim numărătorul la numitor
  2. Câtul reprezintă numărul întregilor iar restul reprezintă numărul părţilor fracţionare.

Fracţii echivalente

Fracţii echivalente sunt fracţii care au aceeaşi valoare, de ex.
 etc.
Deşi aceste fracţii sunt scrise diferit, ele reprezintă aceeaşi cantitate. Putem obţine o jumătate de cană de zahăr luând două sferturi sau patru optimi.
·Înmulţirea cu o formă a lui 1
O fracţie poate fi transformată într-o fracţie echivalentă cu ea prin înmulţirea ei cu o formă a lui 1. Numărul 1 poate fi scris ca fracţie cu numărătorul şi numitorul numere egale şi nenule, adică
 etc.
Deoarece prin înmulţire cu 1 valoarea numărului nu se schimbă, urmează că înmulţind o fracţie cu 1 vom obţine o fracţie echivalentă cu fracţia dată. De exemplu ,
În acest caz, 2/3 reprezintă exact aceeaşi cantitate ca 4/6, deoarece s-a obţinut prin înmulţirea lui 2/3 cu 1, reprezentat prin fracţia 2/2.
Înmulţirea numărătorului şi numitorului unei fracţii cu acelaşi număr se numeşte amplificarea fracţiei.

Forma redusă a unei fracţii

Forma în care numărătorul şi numitorul nu au factori comuni diferiţi de 1
Procedeu de obţinere:
1.Descompunem în facori primi numărătorul şi numitorul
2.Eliminăm factorii comuni prin simplificare.
Acest procedeu este invers celui de amplificare.

Numere prime

Un număr este prim dacă nu are nici un factor întreg diferit de 1 şi de el însuşi, adică nu se poate scrie ca un produs de doi factori diferiţi de 1 şi numărul însuşi.
Exemplu: 6 nu este prim deoarece poate fi scris ca 2 ´ 3
Exemplu: 7 este prim deoarece singura lui factorizare este 1´ 7
  • Şirul numerelor prime este 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, . . .
  • Există o infinitate de numere prime, dar nu avem o formulă care generează numai numere prime.
Orice număr care nu este prim (numit număr compus) poate fi descompus într-un produs de numere prime (nu neapărat diferite)
Exemplu: 4 = 2 ´ 2
Exemplu: 12 = 2 ´ 2 ´ 3

(Metoda ramificării)

Această metodă funcţionează bine în cazul numerelor mari care pot avea mulţi factori. Tot ce trebuie să faceţi este să găsiţi două numere al căror produs să dea numărul iniţial şi să-l scrieţi ca mai jos. Continuaţi în acelaşi fel pentru fiecare dintre numerele obţinute, fiecare ramură terminându-se cu 1 sau cu un număr prim. Factorizarea numărului dat este produsul tuturor numerelor din ‘varfurile’ ramurilor.
Exemplu: Factorizarea lui 60
60 = 2 ´ 2 ´ 3 ´ 5

Notes

  1. Remarcaţi că am început cu cele mai mici numere 2, 3 etc. Nu este o regulă dar aşa îmi place să obţin rezultatul.
  2. Dacă un număr este par, atunci el este divizibil cu 2.
  3. Dacă un număr se termină în 0 sau 5, atunci el este divizibil cu 5.
  4. Dacă suma cifrelor unui număr este divizibilă cu 3, atunci numărul este divizibil cu 3. De ex., numărul 111111111 are suma cifrelor 9, care este divizibil cu 3, deci 111111111 este divizibil cu 3.

Înmulţirea fracţiilor

Înmulţim numărătorii înte ei şi numitorii între ei

Exemplu:
Simplificăm rezultatul dacă este posibil

Simplificând mai întâi factorii comuni, dacă există, efectuăm produsul mai uşor, evitând calculele cu numere mari.

Dacă nu simplificaţi la început, rezultatul trebuie neapărat adus la forma ireductibilă, deci simplificaţi rezultatul.
Exemplu:
Dacă s-au simplificat toţi termenii, numărul care rămâne este 1, deoarece el reprezintă rezultatul împărţirtii unui număr (nenul) la el însuşi, iar simplificarea presupune o împărţire a termenilor fracţiei (la acelaşi număr).

Adunarea şi scăderea fracţiilor

·Dacă avem acelaşi numitor, adunăm numărătorii
·Dacă nu avem acelaşi numitor, facem ca ele să aibă acelaşi numitor, găsind fracţii echivalente cu ele.
·Putem lua orice numitor comun posibil, dar rezultatul va fi mai simplu (cu numere mai mici) dacă vom lua cel mai mic numitor comun.
·Un numitor comun, dar nu neapărat cel mai mic, este produsul numitorilor.

Cel mai mic numitor comun

Cel mai mic număr nenul care se divide (se împarte exact) la toţi numitorii fracţiilor din sumă.
In general
Cel mai mic numitor comun este produsul tuturor factorilor primi din descompunerile numitorilor în factori, fiecare factor fiind luat cu exponentul cel mai mare ( o singură dată).
  • Exemplu:
Descompunem numitorii:
Găsim numitorul comun:
Reţineţi că 3 s-a luat o singură dată deşi el apare şi în 12 şi în 15.
Având numitorul comun, amplificăm fiecare fracţie astfel încât să găsim o fracţie care are ca numitor numitorul comun; factorul de amplificare este câtul dintre numitorul comun şi numtorul fracţiei:
Fracţiile având acelaşi numitor, adunăm numărătorii şi scriem numitorul comun după care simplificăm rezultatul ( alegerea celui mai mic numitor comun nu ne asigură că rezultatul este ireductibil!).:

0 comentarii:

Trimiteţi un comentariu